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| Solutions |
Aller-retour à Briançon
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Oui, il y a un instant où Arsène est passé ces deux jours-là
exactement à la même heure. L'argument le plus élégant consiste à imaginer
qu'il y a deux "Arsène" circulant le même jour, en partant chacun à 12h
mais l'un allant de Seyne à Briançon (en reproduisant le trajet du
premier jour) et l'autre de Briançon vers Seyne (en reproduisant le
trajet du deuxième jour). Il faut bien alors que les deux cyclistes se
croisent à un moment donné... Cette énigme est dans le même esprit que l'exemple donné au début du livre d'Arnold, "Equations différentielles ordinaires", pour illustrer l'intérêt de se placer dans l'espace des phases.
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Le passage du car
| Lorsque Mme Silve sort, si le car se trouve entre chez elle et Barcelonnette (dans n'importe quel sens), il roulera vers Seyne au moment où il passera devant sa maison. A l'inverse, la situation où le car est entre Mme Silve et Seyne au moment de sa sortie correspond à un futur passage en direction de Barcelonnette devant sa maison. Le car allant quatre fois plus souvent à Seyne qu'à Barcelonnette, cela signifie que Mme Silve habite à 1/5 de la distance entre Seyne et Barcelonnette, du côté de Seyne, cad à 8 kilomètres de Seyne (et donc à Montclar, comme chacun sait !). |
L'escargot alpiniste
| L'escargot arrive au sommet le soir du 8ème jour (les 7 premiers jours, il ne montait que d'un mètre par jour; le 8ème, il parvient au sommet). |
Le voyageur égaré
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Si le voyageur est dans l'hémisphère nord, le point de départ ne peut être que le pôle nord. Si le voyageur est dans l'hémisphère sud, il y a une infinité de possibilités. Soit teta la latitude sud obtenue après avoir avancé d'un kilomètre vers le sud. Les valeurs de teta qui conviennent sont celles pour lesquelles le voyageur revient au même point lorsque qu'il tourne d'1 km à l'est; bien sûr, il peut revenir à ce point après 1, 2, 3 etc.. tours le long du parallèle de latitude teta. La longueur de ce parallèle étant 2 Pi R cos(teta), R étant le rayon de la terre, il y a une infinité de solutions: tous les teta = arccos(2 Pi R cos(teta) / k) k étant un nombre entier naturel.
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Aristide va voir Pacôme
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Pacôme se trompe. La distance totale est de 40km. Aristide en
parcourt 20km à la vitesse de 20km/h, c'est à dire en 1h, et les
20 autres kilomètres à 40km/h, c'est à dire en 1/2h. Au total,
Aristide a parcouru 40km en 1h30mn, ce qui correspond à une
vitesse moyenne d'environ 26,6 km/h, ce qui est plus faible que
les 30km/h annoncés par Pacôme. En fait, Pacôme aurait eu raison si
Aristide avait roulé la moitié du temps à 20km/h puis 40km/h, et
non pas la moitié de la distance.
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La mouche et les motards
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Il y a deux raisonnements, un très compliqué, qui consiste à faire la
somme des distances parcourues par la mouche entre chaque rencontre avec
un motard, et un autre beaucoup plus simple, qui consiste à calculer la
durée pendant laquelle la mouche vole. Le raisonnement simple est le
suivant: les deux motards se rencontrent au bout de 6 minutes (8 kilomètres
parcourus à 80 km/h); en volant constamment à 100km/h, la mouche a donc
parcouru 10 kilomètres. Les physiciens pensent en général que le premier raisonnement (le compliqué) est typiquement un raisonnement de mathématicien, tandis que le second est un raisonnement dans leur forme d'esprit. Les mathématiciens prétendent eux le contraire; qui a raison ?
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La chaloupe et la cannonière
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La vitesse du courant est de 2 km/h. Une mise en équation du
problème le résout instantanément mais on peut présenter la
solution la façon suivante: indépendamment de la vitesse du
courant, le bateau s'éloigne de la chaloupe pendant 1/2h puis la
rejoint donc met à nouveau 1/2 h pour l'atteindre: en tout, il a
navigué pendant 1 heure et la chaloupe a parcouru 2km ; la vitesse
du courant est donc 2 km/h.
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Croisement de trains
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Au moment où les deux trains se croisent, ils sont aussi près de Nice
l'un que l'autre.
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De Pézenas à Lagarenne
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ll suffit d'imaginer que Gontran ne bouge pas de Pézenas pendant 5
heures tandis que des trains arrivent à vitesse double, c'est à
dire toutes les demi-heures, en provenance de Lagarenne. Gontran voit donc
11 trains, si l'on compte ceux correspondant à son départ et son
arrivée.
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