|
| Solutions |
Le loto de Magonie
|
Il suffit de remplir deux grilles: une contenant les numéros 1,2,3,4,5 et
6, l'autre les numéros 7,8,9,10,11 et 12. Même si le numéro 13 est tiré, les
autres numéros se répartiront au pire en 3 et 2: il y a toujours une grille
contenant au moins trois numéros.
|
Emission aléatoire
| Anselme a trois fois plus de chances de gagner que Hégésimme. En effet dès que l'ordinateur, a tiré un ".", Anselme est sûr de gagner, et ce, dès que l'ordinateur aura tiré deux "-" consécutifs (conditions préalable pour qu'Hégésimme puisse gagner). La seule chance de gagner, pour Hégésimme, est que les deux premiers tirages de l'ordinateur soient des "-", cad, une chance sur quatre seulement. |
Fausse monnaie
| L'autre côté a deux fois plus de chance d'être "pile" que "face". Hippolyte avait, au départ, autant de chance de se retrouver devant un côté "pile" qu'un côté "face", car il y a 6 faces de pièces, 3 "pile" et 3 "face". Le hasard a choisi le côté "pile". Mais ce côté a une chance sur 3 d'être le côté "pile" de la pièce normale, une chance sur 3 d'être un des 2 côtés de la fausse pièce pile, et une chance sur 3 d'être l'autre côté de cette fausse pièce. Finalement on a une probabilité de 1/3 pour que l'autre côté soit "face", et 2/3 pour qu'il soit "pile". |
Changer son choix ?
|
Le candidat a tout intérêt à changer son choix, et donc,
à sélectionner le coffre no 3: il a 2
fois plus de chances d'y trouver la fortune que dans le coffre 2.
L'erreur la plus fréquente consiste à croire qu'une fois le coffre
1 éliminé, la probabilité de trouver la fortune dans un des 2
autres coffres est égale. Cela serait vrai si le coffre 1 avait
été éliminé à priori, mais il l'a été postérieurement au choix du
candidat. Présentons le problème différemment: au départ, chaque
coffre a une chance sur 3 de contenir de l'argent. On fait alors
une partition de l'ensemble des coffres: d'une part le coffre 2,
d'autre part l'ensemble des coffres 1 et 3. La probabilité de
trouver l'argent dans un de ces sous-ensembles est de 1/3 pour le
premier, et 2/3 pour le second. On demande alors au présentateur
de désigner, dans le second sous-ensemble, un élément ne convenant
pas, soit ici le coffre 1. La probabilité des 2/3 se reporte alors
entièrement sur le coffre 3, et reste de 1/3 pour le coffre 2.
Faites l'expérience si vous n'êtes toujours pas convaincu !
|
Tous les chiffres sont égaux ?
|
Le raisonnement d'Aristide est faux, car il est basé sur le fait que
le premier chiffre du nombre d'habitants d'une commune française a autant
de chances d'être un "1" plutôt qu'un "2", ou un "3", etc.. En fait,
plus le chiffre est petit, plus il a de chances de figurer en tête
du nombre. Ce n'est pas une particularité des communes françaises: la
même propriété se retrouverait avec n'importe quelle autre liste de
valeurs, par exemple, la surface des îles du Pacifique, ou la hauteur des
montagnes d'Asie. Ce phénomène est connu sous le nom de "loi de Benford":
la probabilité qu'un nombre commence par n est égale à Log(n+1)-Log(n),
Log étant le logarithme décimal. On en conclut qu'Aristide a moins de
40% de chances de gagner, alors qu'il croyait en avoir plus de 55% !
A défaut d'une explication mathématique rigoureuse, on se contentera
d'une explication intuitive du phénomène, inspirée par Ian Stewart.
Supposons que l'on choisisse au hasard une rue, puis ensuite, toujours
au hasard, une maison dans cette rue, et que l'on regarde le premier
chiffre de son numéro. Si la rue contient 19 maisons, il y a 10 fois plus de maisons dont le nombre commence par "1" plutôt que par "9". Si la rue contient 47 maisons, il y a toujours beaucoup plus de maisons commençant par "1" plutôt que par "9". Le nombre "9" finit péniblement par rattraper son retard lorsque l'on en arrive à considérer des rues ayant entre 90 et 100 maisons, mais ce retard recommence à se creuser dès que l'on entre dans le domaine des maisons contenant entre 100 et 200 maisons ! Bref, les petits chiffres sont toujours en avance sur les grands, ce qui leur confère une présence plus fréquente que ces derniers.
|
Fille ou garçon ?
|
Madame Lepyon a raison de trouver que son mari se trompe; il y a en
réalité deux fois plus de chances (ou de malchances ?) que Dominique
soit un garçon plutôt qu'une fille. Considérons en effet l'ensemble des
couples ayant deux enfants. A chaque naissance, la probabilité d'avoir
une fille est la même que celle d'avoir un garçon; un simple
tableau à double entrée montre immédiatement que 25% des couples
ont deux filles, 25% deux garçons, et 50% une fille et un garçon.
Les voisins des Lepyon font partie des 75% qui ont une fille;
comme les 2/3 de ceux-ci ont en réalité une fille et un garçon, et
1/3 de ceux-ci ont deux filles, il est donc deux fois plus probable
que l'autre enfant, Dominique, soit un garçon.
|
Informatique et divorces
|
Pas du tout ! Mais l'analyse a eu du succès, et l'idée que les ordinateurs
sont très "prenants" au point de détruire fréquemment la vie familiale et la
cohésion des couples s'est ancrée dans les esprits. La réalité est bien
différente. Il y a des disparités importantes de développement en Italie;
les régions du sud sont assez pauvres, peu équipées en ordinateurs, et
la mentalité y est assez traditionnelle, influencée fortement par le
catholicisme; le divorce est peu en usage. Le nord, par contre, est plus
riche, moderne, équipée en ordinateurs, et divorcer est une pratique
qui ne choque pas les esprits. C'est ainsi qu'il y a une corrélation entre
le taux des divorces et celui des équipements en ordinateurs, mais
on aurait tout aussi bien pu utiliser le taux d'équipement en lave-linge
ou la surface des appartements ! Les mauvais raisonnements basés sur l'interprétation de chiffres statistiques sont devenus courants dans les médias. Par exemple, la plupart des accidents ont lieu près du domicile des conducteurs; certains en on déduit que l'on risque davantage près de chez soi. En fait, la corrélation est simplement due au fait que le voisinage du domicile est l'endroit le plus souvent fréquenté par les conducteurs. Autre exemple, les taux de mortalité par cancer du poumon ont longtemps augmenté en même temps que la consommation de tabac. Certains en ont déduit que le tabac a été la cause de la hausse de ces cancers. Certes, le tabac favorise bel et bien le cancer du poumon, mais ce n'est pas ce genre de résultats qui permet de le montrer. Durant une longue période, la consommation de tabac a augmenté en parallèle avec la durée de l'espérance de vie; en déduirait on pour autant que la cigarette augmente la longévité ? En réalité, le niveau de vie a progressé, ce qui a entraîné une augmentation de l'espérance de vie et le développement de nouveaux types de mortalité, en particulier, par cancer. En parallèle, la consommation de tabac ou d'eau minérale ont augmenté, mais cela était essentiellement une conséquence de l'augmentation du pouvoir d'achat. Un livre intéressant compile 133 erreurs d'interprétation de résultats statistiques dans les médias; à connaître, pour ne pas se faire piéger soi-même (le livre "Attention Statistiques" est écrit par Joseph Klatzmann, et publié à La Découverte).
|
Coïncidence troublante
|
En soi, la probabilité de rêver la nuit d'un ancien ami et de le
rencontrer le lendemain dans la rue est extrêmement faible;
il est normal d'être très troublé par cet événement. Pourtant, ce
type de manifestation n'a rien de vraiment exceptionnel: certes, cet
événement précis était très improbable,
mais il existe au cours de toute une vie un grand nombre d'événements
potentiels très improbables. Et il y a tellement d'événements
très improbables qu'il n'est pas du tout improbable qu'un d'entre
eux se produise un jour... Si l'on fixe à l'avance un événement très improbable (par exemple, trouver les 6 chiffres du loto) alors effectivement, il serait extrêmement surprenant que cet événement se produise. Par contre, dans le vaste ensemble des événements improbables, il n'est pas du tout anormal que l'un d'entre eux se réalise. On peut résumer tout cela par la phrase: "L'improbable a toutes les chances de se produire".
|
Date de naissance
|
Amédée a des risques importants de perdre son pari, beaucoup plus
élevés que son analyse sommaire lui fait croire. Supposons
que les dates de naissances soient réparties aléatoirement
au cours de l'année; sur cette base, calculons la probabilité de gagner
d'Amédée
(en réalité, les dates de naissances sont souvent concentrées
au printemps: cela ne fait que diminuer encore les chances
d'Amédée). Il faut tout d'abord que le deuxième passager ne soit pas né le même jour que le premier, c-a-d une probabilité de 364/365. En supposant que cela soit le cas, il faut de plus que le troisième passager ne soit né ni le jour du premier, ni le jour du deuxième, c-a-d, une probabilité de 363/365. En continuant avec le quatrième, on trouve 362/365, et ainsi de suite jusqu'au trentième: 336/365. Finalement, la probabilité qu'aucun des passagers ne soit né le jour d'un autre est de (364/365) x (363/365) x ... x (336/365). En calculant ce produit, on trouve environ 0,29, donc Amédée a moins de 30% de chances de gagner !
|
La fin de l'humanité est pour demain
|
L'argumentation de Pacôme est un casse-tête récent, publié pour la
première fois en 1989 par John Leslie, et sans doute formulé oralement
au cours d'une conférence en 1983, par Brandon Carter. On le désigne
généralement sous le terme "d'argument de l'apocalypse". Beaucoup ont cherché des failles dans le raisonnement, mais personne n'a trouvé de réfutation vraiment probante. Bref, l'argument de l'apocalypse passionne et inquiète ! Pour plus de détails à son sujet, vous pouvez lire la rubrique "Logique et calcul" dans "Pour la Science" no 191, de septembre 1993 (vous y trouverez aussi l'adresse de John Leslie, au cas où vous désireriez lui faire part de vos idées; vous pouvez sans problème lui écrire en français).
|
|
|